同次微分方程式

同次微分方程式 とは，微分方程式の関数 \(f(x,y)\) が\(f(\frac{y}{x})\)であるとき，つまり，以下のような形式の微分方程式のことを示す．

\[ \begin{align} \frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) \end{align} \]

この一般解は以下で与えられる．

\[ \begin{align} \int \frac{1}{f(u) -u}du= \log | x | + C \end{align} \]

ただし，\(C\)は積分定数とする．

一般解の導出

同次微分方程式をを解くためには，\(\frac{y}{x}=u\)として変数変換をすれば良い．この変数変換は

\[ \begin{align} \frac{y}{x}=u \Rightarrow y = xu \end{align} \]

であり，これを\(x\)について微分すると，

\[ \begin{align} \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx} \end{align} \]

のようになる．ここで \(u=y/x\) という \(x\) の関数なので右辺は積の微分を利用する．そして，\(u\)について整理すると，

\[ \begin{align} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \left(\frac{dy}{dx} -u\right) \end{align} \]

となり，\(\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)=f(u)\)であるので，次の形になる．

\[ \begin{align} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \left(f(u) -u\right) \end{align} \]

上記の式は \(u\) と \(x\) のみが含まれ，\(u\) と \(x\) について以下のように整理すると変数分離形となる．

\[ \begin{align} \frac{1}{f(u) -u}du= \frac{1}{x} dx \end{align} \]

変数分離形の解法と同様に両辺を積分し，

\[ \begin{align} \int \frac{1}{f(u) -u}du= \int \frac{1}{x} dx \end{align} \]

以下の一般解が得られる．

\[ \begin{align} \int \frac{1}{f(u) -u}du= \log | x | + C \end{align} \]

ただし，\(C\)は積分定数とする．

積の微分法則

積の微分法則とは \(y=f(x)g(x)\) という関数の変数\(x\) の微分は以下となる法則である．

\[ \frac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]

\(u\) の変数変換では，\(u\) は \(x\) の関数であるので，\(y'=u'x + ux'\) という微分になっていることに注意されたい．

同次微分方程式の具体例

では，次の同次微分方程式を解いてみよう．

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \]

解答はクリックで確認できる．

一見すると変数分離形とも同次形とも見て取れないが，ここで，右辺を \(x^2\) で割ると以下のように \(y/x\) の形が現れる．

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}{\left(\frac{y}{x}\right)} \]

ここで \(u=\frac{y}{x}\) として変数変換をする．前述より，

\[ \begin{align} u + x\frac{du}{dx} &= \frac{1 + u^2}{u} \end{align} \]

であり，変数変換をした \(y\) の導関数を \(\frac{dy}{dx} = \frac{1 + u^2}{u}\) を代入すると

\[\begin{split} \begin{align} \frac{dy}{dx} &= u + x\frac{du}{dx} \\ u + x\frac{du}{dx} &= \frac{1 + u^2}{u} \\ x\frac{du}{dx} &= \frac{1 + u^2}{u} - u \\ x\frac{du}{dx} &= \frac{1}{u} \\ u du &= \frac{1}{x} dx \end{align} \end{split}\]

と変数分離形となった．変数分離形の解法にしたがって両辺を積分する．

\[\begin{split} \begin{align} \int u du &= \int \frac{1}{x} dx \\ \frac{u^2}{2} &= \log |x| + D \\ u^2 &= 2 \log |x| + 2D \\ \end{align} \end{split}\]

最後に，\(u=\frac{y}{x}\) を代入し，\(y\) について整理すると，

\[\begin{split} \begin{align} \frac{y^2}{x^2} &= 2 \log |x| + 2D \\ y^2 &= 2 x^2 \log |x| + 2D x^2 \\ y &= \pm x \sqrt{2 \log |x| + C} \end{align} \end{split}\]

として，一般解が得られる．ここで，\(D\)は積分定数であり，\(C=2D\)とした．

Pythonによる実装

では，これをsympyで解く．

from sympy import symbols, Eq, Derivative, Function, dsolve

# 変数，関数，導関数を定義．
x = symbols('x')
y = Function('y')(x)
dy = Derivative(y, x)

# 与えられた同次微分方程式を定義
eq = Eq(dy, (x**2 + y**2) / (x*y))

# 微分方程式を解く．
y_ = dsolve(eq, y)

このとき手計算した一般解からもわかるように \(y\) は二つの一般解を持つことに注意する．

y_[0]

\[\displaystyle y{\left(x \right)} = - x \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}\]

y_[1]

\[\displaystyle y{\left(x \right)} = x \sqrt{C_{1} + 2 \log{\left(x \right)}}\]

import numpy as np
from sympy import plotting
import matplotlib.pyplot as plt

N = 10

eqs = []
for c in np.linspace(-3, 3, N):
    eqs.append(y_[0].rhs.subs(symbols('C1'), c))
    eqs.append(y_[1].rhs.subs(symbols('C1'), c))
p = plotting.plot(*eqs, (x, -2, 2), show=False)

cm = plt.get_cmap('magma', N*2)
for i in range(0, cm.N, 2):
    p[i].line_color = cm(i)
    p[i+1].line_color = cm(i)
p.show()