クレロー型微分方程式

クレロー型微分方程式（Clairaut’s equation） は以下の形式を持つ微分方程式である

\[ y=\frac{dy}{dx}x + f \left( \frac{dy}{dx}\right) \]

ここで関数 \(f\) は\(\frac{dy}{dx}\) の関数である．

クレロー型微分方程式の解法

クレロー型微分方程式の解は関数 \(f\) の形に依存するが，導関数 \(\frac{dy}{dx}\) について解くまでの一般解の導出を行う

まず導関数 \(\frac{dy}{dx}\) を別の関数 \(p\) に置き換える．式は

\[ y=px + f \left(p\right) \]

となる．続いて，上式を\(x\)で微分する．\(y,p\) ともに\(x\)の関数であることに注意すると

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=p+x\frac{dp}{dx} + f'(p) \frac{dp}{dx} \\ p&=p+ \frac{dp}{dx} \left ( x + f'(p)\right ) \\ 0 &= \frac{dp}{dx} \left ( x + f'(p)\right ) \end{aligned} \end{split}\]

となる．第三式が成り立つためには，

\[ \frac{dp}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \]

もしくは

\[ x+f'(p)=0 \]

である必要がある．前者の条件は2階微分すると0ということは導関数は定数，つまり

\[ \frac{dy}{dx} = p = C \]

であるため，一般解は

\[ y=Cx+f(C) \]

となる．一方，後者の条件については，以下の方程式より，\(p\)を消去することで \(C\) を含まない特殊解を導出できる．

\[\begin{split} \begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} x = -f'(p) \\ y = px+f(p) \end{array}\right.\\ \end{aligned} \end{split}\]

ただし，関数 \(f\) の形に応じては解を求めることができないので注意されたい．

クレロー型微分方程式の具体例

次の微分方程式を解いてみよう．

\[ y=\frac{dy}{dx}x + \left( \frac{dy}{dx}\right)^2 \]

解答はクリックで確認できる．

この微分方程式は，クレロー型の微分方程式であるので \(p=\frac{dy}{dx}\)として式を変形すると，

\[ y=px + p^2 \]

このとき，\(y\) と \(p\) が \(x\) の関数であることに注意して両辺を \(x\) を微分する．

\[\begin{split} \begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=p+x\frac{dp}{dx} + 2p \frac{dp}{dx} \\ p&=p+ \frac{dp}{dx} \left ( x + 2p\right ) \\ 0 &= \frac{dp}{dx} \left ( x + 2p\right ) \end{aligned} \end{split}\]

この等式が成立するためには，

\[ \frac{dp}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \]

もしくは

\[ x+2p=0 \]

である必要がある．前者の条件は2階微分すると0ということは導関数は定数，つまり

\[ \frac{dy}{dx} = p = C \]

であるため，一般解は

\[ y=Cx+C^2 \]

となる．後者の条件は，\(p=-x/2\)より，式に代入すると，

\[\begin{split} \begin{aligned} y &= \left ( -\frac{x}{2} \right ) x + \left ( -\frac{x}{2} \right )^2 \\ &= - \frac{1}{4} x^2 \end{aligned} \end{split}\]

という特異解が得られる．

特異解

特異解 とは一般解の任意定数 \(C\) にどのような値を取っても得られない解のことを言う．特殊解は一般解の任意定数を初期条件で固定した解であり，混同しないように注意されたい．

そして，この特異解は得られた曲線に全てに接している曲線である 包絡線 となっている．

包絡線

包絡線（envelope） とは \(\alpha\) をパラメータとする微分可能な関数 \(F(x,y,\alpha)\) が与えられたとき，この関数に接して、かつ接線が軌跡となっている曲線である．ほうらくせんと読む．

Pythonによる実装

では，上記の微分方程式をsympyで解く．ただし，クレロー型であっても微分方程式の形によってはsympyでは計算できない場合があることに注意されたい．

from sympy import symbols, Eq, Derivative, Function, dsolve

# 変数と未知関数の定義
x = symbols('x')
y = Function('y')(x)

# dy/dxの定義
dy = Derivative(y, x)

# 微分方程式の定義
eq = Eq(y, dy*x + dy**2)

# 微分方程式を解く
y_ = dsolve(eq, y)
y_

\[\displaystyle y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} \left(C_{1} + 2 x\right)}{4}\]

import numpy as np
from sympy import plotting
import matplotlib.pyplot as plt

N = 10

eqs = []
for c in np.linspace(-1, 1, N):
    eqs.append(y_.rhs.subs(symbols('C1'), c))
p = plotting.plot(*eqs, (x, -5, 5), show=False)

cm = plt.get_cmap('magma', N)
for i in range(cm.N):
    p[i].line_color = cm(i)
p.show()