ラプラス変換と微分方程式

ラプラス変換

\(0 \leq t < \infty\) の任意区間で定義された関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(\mathcal{L}(f(t))\) は以下の形で定義されていた．

\[ F(s) = \mathcal{L}(f(t)) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} d t \]

ここで \(s\) は複素数 \(s=c+i\omega\) の複素変数であり，\(f(t)\) を \(t\) 関数や原関数，\(F(s)\) を \(s\) 関数や像関数と呼んだ．また \(Y(s)\) から \(f(t)\) を得るための逆変換である逆ラプラス変換 \(\mathcal{L}^{-1}(F(s))\) は以下で与えられた．

\[ f(t) = \mathcal{L}^{-1}(F(s)) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} F(s) e^{s t} d s, \quad t \geq 0 \]

ここでは常微分方程式の解をラプラス変換から求める方法を紹介する．常微分方程式をラプラス変換で解くにあたり，原関数と象関数のラプラス変換結果の対応表を以下にまとめた．常微分方程式を解く上で頻出するので参照されたい．

\(f(t)\)	\(F(s)\)
\(1\) （ステップ関数，ただし \(t>0\)）	\(\frac{1}{s}\)
\(\delta(t)\)	\(1\)
\(e^{at}\)	\(\frac{1}{s-a}\)
\(t^{n}\)	\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)
\(\cos \omega t\)	\(\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}\)
\(\sin \omega t\)	\(\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}\)
\(e^{at} \cos \omega t\)	\(\frac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}\)
\(e^{at} \sin \omega t\)	\(\frac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}\)
\(e^{-at}f(t)\) (推移則)	\(F(s+a)\)
\(f(at), a>0\) （相似則）	\(\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)\)
\(f'(t)\)（一次導関数の性質）	\(s F(s)-f(0)\)
\(f'(t)\) （二次導関数の性質）	\(s^2 F(s) -sf(0) - sf'(0)\)

常微分方程式をラプラス変換で解く

常微分方程式をラプラス変換で解くステップは以下である．

1. 常微分方程式をラプラス変換する

2. ラプラス変換された微分を含まない方程式を上記の\(F(s)\)の形になるように代数処理する

3. 得られた \(F(s)\) を逆ラプラス変換し解を得る

では，次の二階定数係数線形非同次微分方程式の未知関数 \(y(x)\) を求めよう．

\[ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+y=x \]

ただし初期値として \(y(0)=0, y'(0)=0\) が与えられている．

このような非同次形の微分方程式を解くためには同次形の一般解と非同次形の特殊解を求め重ね合わせの性質から一般解を求める必要があった．では，上記のステップに従ってラプラス変換を用いて与えられた常微分方程式を解く．

ラプラス変換

ラプラス変換による解法では，まず求めたい未知関数 \(y(x)\) のラプラス変換が \(Y(s)\) として考え，与えられた微分方程式をラプラス変換する．ラプラス変換には線形性の性質 \(\mathcal{L}(f(t) \pm g(t))=\mathcal{L}(f(t))+\mathcal{L}(g(t))\) と定数倍の性質 \(\mathcal{L}(c f(t))=c \mathcal{L}(f(t))\) があったので以下のようにラプラス変換 \(\mathcal{L}\) して良いことがわかる．

\[\begin{split} \begin{align} \mathcal{L}\left( \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+y-x \right) &= \mathcal{L}\left( \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \right) - \mathcal{L}\left(2 \frac{d y}{d x} \right) + \mathcal{L}\left(y \right) - \mathcal{L}\left( x \right) \\ &= \mathcal{L}\left( \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \right) - 2 \mathcal{L}\left(\frac{d y}{d x} \right) + \mathcal{L}\left(y \right) - \mathcal{L}\left( x \right) \end{align} \end{split}\]

各項のラプラス変換を計算する．まず導関数のラプラス変換についてはラプラス変換の導関数の性質を用いて以下のように計算できる．

\[ \mathcal{L}\left( \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \right)=s^{2} Y(s)-s y(0)-\frac{d y}{d x}(0) \]

\[\begin{split} \mathcal{L}\left( \frac{d y}{d x} \right) =s Y(s)-y(0) \\ \end{split}\]

続いて，\(y\) のラプラス変換は定義より \(Y(s)\) であった．

\[ \mathcal{L}\left( y \right) = Y(s) \]

最後に，\(x\) のラプラス変換は \(f(t)=t^n\) のラプラス変換を参考に以下で得られる．

\[ \mathcal{L}\left( x \right) = \frac{1}{s^2} \]

従って与えられた微分方程式は以下のように変換できる．

\[ \left\{s^{2} Y(s)-s y(0)-y'(0)\right\}-2\{s Y(s)-y(0)\}+Y(s)=\frac{1}{s^{2}} \]

この一連のラプラス変換は \(t\) 空間から \(s\) 空間へラプラス変換し，\(s\) 空間における 補助方程式 を計算したと言う．

部分分数分解による代数処理

得られたラプラス変換結果を対応表に従って逆ラプラス変換できるように部分分数分解する．そのためにまずは \(Y(s)\) の式の形に整理する．また，もし初期値が与えられている場合はこの時点で代入されたい．

\[\begin{split} \begin{align} \left\{s^{2} Y(s)-s y(0)-y'(0)\right\}-2\{s Y(s)-y(0)\}+Y(s)&=\frac{1}{s^{2}} \\ s^{2} Y(s)-2 s Y(s)+Y(s)&=\frac{1}{s^{2}}\\ \left(s^{2}-2 s+1\right) Y(s) &=\frac{1}{s^{2}} \\ Y(s) &=\frac{1}{s^{2}(s-1)^{2}} \end{align} \end{split}\]

では対応表に従って逆ラプラス変換できるように部分分数分解する．

\[ Y(s) = \frac{1}{s^{2}(s-1)^{2}} = \frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{-2}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^{2}} \]

では次に各項を逆ラプラス変換する．

逆ラプラス変換

部分分数分解によって得られた \(Y(s)\) を逆ラプラス変換して \(y(x)\) を求める．各項を見ると第一項目はステップ関数，第二項目は \(t^n\)，第三項目は指数関数，第四項目は推移則のラプラス変換結果となっていることがわかる．

\[\begin{split} \begin{align} y(x) &= \mathcal{L}(Y(s)) \\ &= \mathcal{L}\left(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}+\frac{-2}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^{2}} \right)\\ &= \mathcal{L}\left(\frac{2}{s}\right)+\mathcal{L}\left(\frac{1}{s^{2}}\right)+\mathcal{L}\left(\frac{-2}{s-1}\right)+\mathcal{L}\left(\frac{1}{(s-1)^{2}} \right) \\ &=2+x-2 e^{x}+x e^{x} \end{align} \end{split}\]

以上より二階線形微分方程式の特殊解を導出することができた．このようにラプラス変換の性質，代表的なラプラス変換の結果，部分分数分解ができれば一対一対応の性質から微分方程式が解ける．

第4項目の逆ラプラス変換の補足

ラプラス変換の推移則は関数 \(f(t)\) のラプラス変換が \(F(s)\) のとき， \(e^{-at}f(t)\) のラプラス変換は \(F(s+a)\) となることを示していた．このとき \(f(t)=t\) のラプラス変換が \(\frac{1}{s^2}\) であったので，\(e^{-at} \cdot t\) のラプラスは \(F(s+a) = \frac{1}{(s+a)^2}\) となる．それゆえ，上式の第四項目の逆ラプラス変換の結果は \(x e^{x}\) となる．