周期関数

\(\sin\)関数と\(\cos\)関数は 正弦波 とも呼ばれ，この正弦波は同じ波が一定間隔で繰り返される 周期関数 である．このとき波が繰り返される一定間隔のことを 周期 と呼ぶ．周期を正の定数 \(T\) として，周期関数 \(f\) は

\[ f(x+T) = f(x) \]

という性質を持つ．\(\sin\)関数と\(\cos\)関数もまた周期 \(T=2\pi\) の周期関数であり，三角関数の性質から，

\[ \sin(x+2\pi) = \sin(x), \quad \cos(x+2\pi) = \cos(x) \]

となるのは自明である．\(\sin\)関数と\(\cos\)関数の周期 \(T=2\pi\) のようにこの周期関数の性質を満たす最小の正の定数のことを 基本周期 と言う．\(2T, 3T, ...\)も周期関数の性質を満たすので周期と言えるが，これらの違いについて注意されたい．

Pythonによる実装

では，\(\sin\)関数と\(\cos\)関数の周期関数としての性質をsympyで確認し，プロットしてみよう．

from sympy import symbols, sin, cos, pi
from sympy.plotting import plot

x = symbols('x')
T = symbols('T')

f_sin = sin(x + T)
f_cos = cos(x + T)
plot(f_sin.subs(T, 2*pi), f_cos.subs(T, 2*pi), (x, -3*pi, 3*pi))

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f9f12378520>